第三十四章节十二平均律曲
研究“五度相生律”中7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～e、e～～si之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（one）英雄无敌魔法门之众星传说。
“五度相生律”产生的7声音阶较为复杂，于是有人开始对这7个音的频率做点调整，就出现了“纯律”（juion）。
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，即让各个音和主音的频率比尽量简单。其发明人是古希腊学者亚理斯托森努斯，是亚理士多德的学生。学说重点是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他最先提出了所谓“自然音阶”，自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。
7个自然音阶的频率分别是：f、9/8f、5/4f、4/3f、3/2f、5/3f、15/8f。确实简单多了，也好听多了，这种简单的比例，就是“纯律”。但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，现在则出现了3种：9:8（“大全音”，inotone）、16:15（新的“半音”）。而如果比较自然音阶中的e和fa，其频率比是27/32，既不怎么简单也不好听！
所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的，事实上，“纯律”也远没有“五度相生律”流行。
对于“五度相生律”的更好修正是从另一个方向展开的。古人把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3f，现在就有了12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：f、2187/2046f、9/8f、19683/16384f、81/64f、4/3f、729/512f、3/2f、6561/4096f、27/16f、59049/32768f、243/128f。
这样，原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c、d、e、f、g、a、b。新多出来的5个音符被叫做c#（“升c”）、d#、f#、g#、a#。12音阶现在被叫做：c、c#、d、d#、e、f、f#、g、g#、a、a#、b。相邻两个音符的频率相除，会发现它们之间的比例只有两种：256:243（原“半音”，也叫“自然半音”），2187:2048（“变化半音”）。
于是，这12个音符几乎又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，那就是严格的等差了。）原来的7声音阶中，c～d、d～e、f～g、g～a、a～b之间都相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。
既然c#被认为是从c“升”了半音得到的，那么c#也可以被认为是从d“降”了半音得到的，所以c#和db（读做“降d”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：db、eb、gb、ab、bb。
从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。至少在西周初期，中国就在一个音阶中确定十二个律了。十二平均律也叫十二等程律，它把一个音阶分为十二个相等的半音，使各相邻两律间的频率差都是相等的。故称十二平均律。在十二平均律发明之前，中国自春秋时期起，一直使用三分损益法确定管或弦的长度和发音高低之间的关系。由三分损益法计算出来的十二个律，相邻两律间的长度差（或频率差）不是都相同的，因此这种律又叫十二不平均律。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。
其实三分损益律、纯律、十二律，在中国很早就同时存在。因此，也就出现了异律并用的情况。在历史上，南朝宋、齐时清商乐的平、清、瑟三调和隋、唐九、十部乐的清乐中，都是琴、笙与琵琶并用；宋人临五代周文矩《宫中图》卷中的琴阮合奏，其时，琴上所用应是纯律，笙上所用当为三分损益律，琵琶与阮却是十二律。可见，南北朝、隋唐、五代，都存在三律并用的情况。在现存的许多民间乐种中，也有琴、笙、琵琶、阮等乐器的合奏。
“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而且两种半音彼此差距还不小。实际上根本不是“等差音高序列”，比如c～高音c之内的旋律和d～高音d之内的旋律不一样。如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到很多黑键，弹出来的效果就一塌糊涂。
这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是、有些旋律是不能用的。而教堂的管风琴，